分数 Sobolev 半范数在薄域上的维数简化

我们研究定义在薄片 $\Omega_\e=\omega\times(0,\e)$ 上的 Gagliardo 半范数 $H^s$ 的渐近行为。第一有效阶数为 $\e^{1-2s}$，此时对应的极限捕捉通过一维截面所产生的垂直分数振荡。第二有效阶数产生维数简化情形，在临界指数 $s=\tfrac12$ 处发生定性转变。对于 $s<\tfrac12$，主导贡献由有限平面距离上的相互作用驱动，维数简化尺度为 $\e^2$。在此情形下，极限为一种在可分离指数上有效提升 $\tfrac12$ 的下维分数能量。对于临界指数 $s=1/2$，维数简化尺度为 $\e^{2}|\log\e|$，且极限为{\em 局部}型，通过尺度在 $\e$ 与 $1$ 之间产生的相互作用，得到 Dirichlet 型极限 $\omega$。对于 $s>\tfrac12$，主导贡献由距离为 $\varepsilon$ 的相互作用驱动，维数简化尺度为 $\e^{3-2s}$，且二阶 $\Gamma$ 极限仍为局部形式。我们还研究了 $s=s_\e\to 1^-$ 的情况，给出 Bourgain--Brezis--Mironescu 类型结果。