$L$ 圈两点有质量蝌蚪图与传播子微元积分的微分方程、递推关系与二次约束

我们考虑具有任意质量、同时采用维数正则化与解析正则化的 $L$ 圈两点蝌蚪图（西瓜图）积分。我们推导了微分方程组与递推关系（维数与分母幂的平移）。由于 $L$ 圈日出积分对应于一条线被截断的 $(L+1)$ 圈西瓜积分，我们的结果同样适用于前者。所得微分系统具有 Pfaffian 形式，且对维数正则化与解析正则化参数均为线性。一般情况下，该系统的解可用具有一般参数的 Lauricella 函数 $F_C^{(L)}$ 表示。因此，作为副产品，我们据我们所知首次得到了任意 $L$ 下 $F_C^{(L)}$ 的 Pfaffian 系统。所得系统无表观奇点。在奇维数与整数分母幂附近，该系统可轻易化为规范形。利用微分系统右端矩阵的对称性，我们得到了在整数维数与分母幂附近解展开的二次约束。特别地，我们得到了类似于 Broadhurst 与 Roberts 所发现的 Bessel 矩的二次约束。