微分拓扑统计模型、Fisher 度量与概率映射

在本注记中，我们引入 $C^k$-微分拓扑统计模型的概念，它使我们能够将微分拓扑空间理论应用于（可能奇异的）统计模型。特别地，我们引入一类几乎 2-可积的 $C^k$-微分拓扑统计模型，它包含了所有已知的定义了 Fisher 度量的统计模型。该类包含一个未出现在 Ay-Jost-Lê-Schwachhöfer 参数化测度模型理论中的统计模型。然后我们证明，对于任意正整数 $k$，几乎 2-可积的 $C^k$-微分拓扑统计模型类在概率映射下保持不变。此外，Fisher 度量的单调性定理对这一类也成立。作为结果，几乎 2-可积的 $C^k$-微分拓扑统计模型 $P \subset {\cal P}({\cal X})$ 上的 Fisher 度量在任何关于 $P$ 充分的概率映射 $T: {\cal X}\leadsto {\cal Y}$ 下保持不变。最后我们将 Cramér-Rao 不等式推广到 2-可积的 $C^k$-微分拓扑统计模型类。