作为离散度量空间态射的 Roe 双模

对于两个离散度量空间 $X$ 和 $Y$，我们考虑在 $X\sqcup Y$ 上与 $X$ 和 $Y$ 上的度量相容的度量。我们将从 $X$ 到 $Y$ 的态射取为 Roe 双模，即从 $l^2(X)$ 到 $l^2(Y)$ 的有界有限传播算子的范数闭包。我们研究相应的范畴 $\mathcal M$，它也是一个 2-范畴。我们证明几乎等距映射决定 $\mathcal M$ 中的态射。我们也考虑 $Y=X$ 的情形，此时 $\mathcal M$ 的态射集合上具有更丰富的代数结构：它是一个带中性元、对合以及大量幂等元的偏序半群。我们还给出了一个态射为 $C^*$-代数的条件。