分别绝对连续映射的对角线及其类似物

我们证明，对于区间 $X\subseteq \mathbb R$ 和赋范空间 $Z$，分别绝对连续映射 $f:X^2\to Z$ 的对角线恰好是这样的映射 \mbox{$g:X\to Z$}：存在一个连续映射序列 $(g_n)_{n=1}^{\infty}$，$g_n:X\to Z$，满足对每个 $x\in X$ 有 $\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x)=g(x)$ 且 \mbox{$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\|g_{n+1}(x)-g_n(x)\|<\infty$}。