对称矩阵关于 $\mathbb F_2$ 上的对角奇偶性与环切换

设 $M$ 为 $\mathbb F_2$ 上的对称矩阵，设 $\diag(M)$ 为其对角向量。已知\n\n$$\diag(M)\in\Img(M).$$\n\n因此，仿射系统 $Mx=\diag(M)$ 永远是可解的。我们将这一存在性命题强化为一个奇偶性刚性定理：每一个解都满足\n\n$$\diag(M)^T x\equiv\rank(M)\pmod 2.$$\n\n对于图矩阵而言，这给出了 Sutner 的奇驭定理和 Batal 的奇偶性定理从闭邻域矩阵 $A(G)+I$ 到任意部分带环图矩阵 $A(G)+D$ 的常见扩展。我们也研究了当环被切换时秩和零化数如何变化。从代数角度看，对向量 $u$ 支持上的同时环切换就是矩阵的对角秩一更新 $M\mapsto M+uu^T$。我们证明了该更新的精确三情形秩和零化公式。最后，对于具有任意二进制对角标签的根树，我们给出一个使用 $\mathbb F_2^2$ 中的仿射子空间的有限状态边界递归。该递归计数所有广义奇驭模式，并推出了对于深度标签最终是周期性的完全根树的最终准几何零化公式。