通过 Gomory 松弛与不平衡度计算对角 Frobenius 数

对于矩阵 $A \in Z^{k \times n}$ 的秩为 $k$，对角 Frobenius 数 $F_{\text{diag}}(A)$ 定义为最小 $t \in Z_{\geq 1}$，使得对于任意 $b \in \text{span}_{Z}(A)$，若满足条件\n\begin{equation*}\n\exists x \in R_{\geq 0}^n,\, x \geq t \cdot 1 \colon \quad b = A x\n\end{equation*}\n则意味着\n\begin{equation*}\n\exists z \in Z_{\geq 0}^n \colon\quad b = A z.\n\end{equation*}\n本文证明\n\begin{equation*}\nF_{\text{diag}}(A) = \Delta + O(\log k),\n\end{equation*}\n其中 $\Delta$ 表示 $k \times k$ 子行列式的最大绝对值。从计算复杂度角度，我们展示整数向量 $z$ 可通过多项式时间算法获得，以满足上述条件中较弱值 $t$。例如，可取 $t = O( \Delta \cdot \log k)$ 或 $t = \Delta + O(\sqrt{k} \cdot \log k)$。此外，在允许 $2^k$ 时间预处理或给定基 $J$ 且 $|{\det A_{J}}| = \Delta$ 的情况下，可取 $t = \Delta + O(\log k)$。最后，我们定义更一般的松弛对角 Frobenius 数 $F_{\text{slack}}(A)$，这是针对标准型系统（如 $A x \leq b$）的 $F_{\text{diag}}(A)$ 的推广。所有证明主要针对 $F_{\text{slack}}(A)$ 进行。证明技术使用 Gomory 角多面体松弛的某些性质及不平衡度理论工具。