具有给定 Frobenius 数的 Arf 数值半群的集合

在本文中，我们将证明若 $F$ 是一个正整数，则集合 ${\mathrm{Arf}}(F)=\{S\mid S \mbox{ 是一个具有 Frobenius 数 } F \mbox{ 的 Arf 数值半群}\}$ 满足以下条件：1) $\Delta(F)=\{0,F+1,\rightarrow\}$ 是 ${\mathrm{Arf}}(F)$ 的最小元；2) 若 $\{S, T\} \subseteq {\mathrm{Arf}}(F)$，则 $S \cap T \in {\mathrm{Arf}}(F)$；3) 若 $S \in {\mathrm{Arf}}(F)$，$S\neq \Delta(F)$ 且 ${\mathrm m}(S)=\min (S \backslash \{0\})$，则 $S\backslash \{{\mathrm m}(S)\} \in {\mathrm{Arf}}(F)$。前述结果将用于给出一个计算集合 ${\mathrm{Arf}}(F)$ 的算法。我们还将看到，若对某个 $S\in {\mathrm{Arf}}(F)$ 有 $X\subseteq S\backslash \Delta(F)$，则 ${\mathrm{Arf}}(F)$ 中存在包含 $X$ 的最小元。