路径箱积的行列式

假设 $G$ 是由长度为 $n$ 的路径与长度为 $m$ 的路径进行箱积 (box product) 所得到的图。设 $M$ 为 $G$ 的邻接矩阵。若 $n=m$，H.M. Rara 于 1996 年证明了 $\det(M)=0$。我们将此结果推广至 $n$ 和 $m$ 为任意正整数的情形，并证明：若 $\gcd(n+1,m+1)>1$，则 $\det(M)=0$；否则，若 $\gcd(n+1,m+1)=1$，则 $\det(M)=(-1)^{nm/2}$。