Torseurs 的下陷、gerbes 与有理点

设 $k$ 是特征为 0 的域，$G$ 是线性代数 $k$-群。当 $G$ 是交换群时，众所周知，$k$-概形 $\pi:X\to \textup{Spec} k$ 上的 $G_{X}$-torseurs 为 $X$ 上 $k$-有理点的存在性提供了障碍，因为 Leray 谱序列（当 $X$ 是“好的”，例如 $X$ 光滑且真时）产生一个群的正合序列（相关的五项正合序列）。这个序列为具有模域 $k$ 的 $\bar{G}_{X}$-torseur $\bar{P}\to\bar{X}$ 是否定义在 $k$ 上（即是否通过从 $G_{X}$-torseur $P\to X$ 进行标量扩展到 $k$ 的代数闭包 $\bar{k}$ 得到）提供了障碍。这个障碍由一个 gerbe 度量，如果 $X$ 具有 $k$-有理点，则该 gerbe 是平凡的。我们尝试将此结果推广到非交换情形，并且在某些情况下，我们推导出 $X$ 上 $k$-有理点存在的非交换上同调障碍，以及关于 torseurs 下陷的结果。