滤廓Tannakian群的深度一部分

设$(F_r M)_{r\in\mathbb{Z}}$为Tannakian范畴$\mathbf{T}$中对象$M$上的一个有限滤廓。设$u(M)=u^F(M)$为作用于关联graded$Gr^FM$上为零的Tannakian基本群的子群的Lie代数。滤廓$F_\bullet M$诱导出内Hom$\underline{Hom}(M,M)$上的滤廓，进而诱导出$u(M)$上的滤廓$F_\bullet u(M)$。该$u(M)$上的滤廓在负次数浓缩。在本文中，我们以$Ext^1(Gr^F_{r+1}M, Gr^F_{r}M)$中的扩展给出$Gr^F_{-1}u( M)$的描述。特别是，这些扩展决定了$Gr^F_{-1}u(M)$。值得注意的是，此处我们既不假设滤廓具有函数性，也不假设$Gr^FM$是半单性的。研究$u(M)$的此一般问题，源于希望理解与混合动机及其实现相关的Tannakian群，包括那些对纯动机的实现在半单性上尚未知晓且缺乏有趣函数性权重滤廓的实现。我们还提供了两个相关应用。第一个是给出等价条件，判定$u(M)$是否等于其平凡上界$F_{-1}\underline{Hom}(M,M)$。该结果概括了先前在特殊情境或限制条件下获得的关于$u(M)$最大性的各种作者所得的准则。第二个应用中，我们将结果用于具有函数性权重滤廓$W_\bullet$的中性Tannakian范畴的情境。结合[arXiv:2307.15487]的构造手段与我们一般化的最大性准则，我们证明了一组对象$M$的异构类结构，其中$Gr^WM$同构于给定的graded对象$A$，且$u^W(M)=W_{-1}\underline{Hom}(M,M)$。