QuickQuant 与 QuickVal 的密度函数

我们证明，对每个 $0 \leq t \leq 1$，著名算法 QuickQuant 在随机排序列表中查找第 $t$ 分位数所用关键比较次数的尺度归一化极限分布具有 Lipschitz 连续密度函数 $f_t$，其上界为 $10$。此外，该密度 $f_t(x)$ 对每个 $x > \min\{t, 1 - t\}$ 为正，且关于 $t$ 一致地，在右尾具有超指数衰减。我们还证明生存函数 $1 - F_t(x) = \int_x^{\infty}\!f_t(y)\,\mathrm{d}y$ 与密度函数 $f_t(x)$ 均具有右尾渐近式 $\exp [-x \ln x - x \ln \ln x + O(x)]$。我们利用该右尾渐近式界定了 QuickQuant 所用尺度归一化关键比较次数的大偏差。