度相关随机块模型中的密度演化

最近，识别随机块模型下簇恢复的精确阈值引起兴趣激增。本文中，我们处理更精细的问题：平均有多少顶点将被误分类。我们考虑随机块模型的二元形式，其中 $n$ 个顶点被划分为两个簇，簇内边概率分别为第一簇 $a/n$，第二簇 $c/n$，簇间 $b/n$。假设当 $n \to \infty$ 时，$a= b+ \mu \sqrt{ b}$，$c=b+ \nu \sqrt{ b}$ 对于两个固定常数 $\mu, \nu$，且 $b \to \infty$ 满足 $b=n^{o(1)}$。当簇大小平衡且 $\mu \neq \nu$ 时，我们证明平均误分类顶点的最小分数由 $Q(\sqrt{v^*})$ 给出，其中 $Q(x)$ 是标准正态的 Q-函数，$v^*$ 是 $v= \frac{(\mu-\nu)^2}{16} + \frac{ (\mu+\nu)^2 }{16} \mathbb{E}[ \tanh(v+ \sqrt{v} Z)]$ 的唯一不动点，$Z$ 是标准正态。此外，平均最小误分类分数由一个局部算法即置信传播在边数线性时间内达到。我们的证明技术基于将簇恢复问题连接到树重建问题，并分析树上置信传播的高斯近似密度演化。