兽穴、巢与 Loehr-Warrington 猜想

在 companion 论文中，我们引入了称为 Catalanimals 的升算符级数。其中包括 Schur Catalanimals，它们表示嵌入 Burban 和 Schiffmann 的椭圆 Hall 代数 𝓔 的对称函数代数副本 Λ(X^{m,n})⊂𝓔 中的 Schur 函数。此处我们获得了由一类包含 Schur Catalanimals 的 Catalanimals 给出的对称函数的组合公式。我们的公式表示为 LLT 多项式的加权和，其项由称为巢的嵌套格路构型索引，其端点和边界约束由称为兽穴的数据控制。应用于字母表 X^{m,1}（n=1）的 Schur Catalanimals，我们的“兽穴中的巢”公式证明了 Loehr 和 Warrington 猜想的 Combinatorial 公式，即将 ∇^m s_μ 表示为由嵌套 Dyck 路径系统索引的 LLT 多项式的加权和。当 n 任意时，我们的公式建立了 Loehr-Warrington 猜想的 (m,n) 版本。在每个巢由单条格路组成的情况下，兽穴中的巢公式退化为我们之前针对任意直线下路径的 shuffle 定理。此定理与 (m,n) Loehr-Warrington 公式均推广了 Carlsson 和 Mellit（n=1 时）以及 Mellit 证明的 (km,kn) shuffle 定理。我们此处的公式统一了这两类推广。