与Gelfand对相关的矩阵值正交多项式的形变

本文提出一种方法，用以获取与紧Gelfand对的表示论相关联的矩阵值正交多项式族的形变。这些多项式具有Sturm-Liouville性质，即它们是一个对称二阶微分算子的同时本征函数；我们对该算子进行相应的形变，使得形变后的族同样具有Sturm-Liouville性质。我们的策略是，先对与矩阵值正交多项式相关的球函数系统进行形变，然后验证多项式结构在形变下得以保持。在这些考量中，完整的球函数 $\Psi_{0}$ 至关重要，它将球函数与多项式联系起来。针对Gelfand对 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$，我们证明了用Krawtchouk多项式表示的 $\Psi_{0}$ 的显式公式。对于与该对相关的矩阵值正交多项式，此前已通过不同方法得到一种形变，我们展示了利用 $\Psi_{0}$ 的显式知识，我们的方法给出了相同的结果。此外，我们将该方法应用于更一般的Gelfand对中若干 $2\times2$ 规模的例子。我们证明了与群 $\mathrm{SU}(n)$ 相关的族彼此互为形变。另一方面，与辛群 $\mathrm{Sp}(n)$ 相关的族则产生了一个带有额外自由参数的新族。