有理格中八面体的亏数

考虑任意 $n$ 维格 $\Lambda$ 使得 $\mathbb{Z}^n \subset \Lambda \subset \mathbb{Q}^n$。此类格称为{\it 有理格}，总可通过向 $\mathbb{Z}^n$ 添加 $m \le n$ 个有理向量得到。标准基 ${\cal E}$ 的{\it 亏数} $d({\cal E},\Lambda)$（${\mathbb Z}^n$ 的标准基由沿坐标轴方向的 $n$ 个单位向量构成）定义为最小整数 $d$，使得 ${\cal E}$ 中某 $(n-d)$ 个向量与格 $\Lambda$ 中某 $d$ 个向量共同构成 $\Lambda$ 的一组基。令 $||...||$ 为 $\mathbb{Q}^n$ 上的 $L^1$-范数。假设对 $\Lambda$ 中每个非整数 $x \in \Lambda$ 均有不等式 $||x|| > 1$ 成立。则单位八面体 $O^n = \left\{{ x} \in \mathbb{R}^n: ||x|| \leqslant 1\right\}$ 称为关于 $\Lambda$ 可容，且 $d({\cal E},\Lambda)$ 也称为八面体 $O^n$ 关于 $\cal{E}$ 的亏数，记作 $d(O^n_{{\cal E}}, \Lambda)$。令 $d_n^m = \max_{\Lambda \in {\cal A}_m} d(O^n_{{\cal E}},\Lambda),$ 其中 ${\cal A}_m$ 为所有可通过向 $\mathbb{Z}^n$ 添加 $m$ 个有理向量得到的有理格之集合：$\Lambda = \left \langle {\mathbb Z}^n, { a}_1, \dots, { a}_m \right \rangle_{{\mathbb Z}}, { a}_1, \dots, { a}_m \in {\mathbb Q}^n.$ 本文我们证明存在绝对正常数 $C$，使得对任意 $m < n$ 有 $$d_n^m \leq C \frac{n \ln (m+1)}{\ln \frac{n}{m}} \left(\ln\ln \left(\frac{n}{m}\right)^m \right)^2$$ 此上界在 $[1],[2]$ 中亦曾被宣称，然其证明有误。本文在给出正确证明的同时，亦指出那些文章中的实质性不准确之处。