理性在整数规划松弛中的作用

对于某个多面体 $Q$ 可表示为 $X = Q \cap \mathbb{Z}^d$ 的有限集 $X \subset \mathbb{Z}^d$，我们称 $Q$ 为 $X$ 的一个松弛，并定义 $X$ 的松弛复杂度 $rc(X)$ 为 $X$ 的所有可能松弛 $Q$ 中面数最少者的面数。有理松弛复杂度 $rc_\mathbb{Q}(X)$ 将 $rc(X)$ 的定义限制于有理多面体 $Q$。本文关注 $X = \Delta_d$，即标准单形的顶点集，由零向量与 $\mathbb{R}^d$ 中的标准单位向量组成。我们证明对每一个 $d \geq 5$ 有 $rc(\Delta_d) \leq d$。也就是说，由于 $rc_{\mathbb{Q}}(\Delta_d)=d+1$，无理性可降低松弛的最小规模。这回答了 Kaibel 与 Weltge (Lower bounds on the size of integer programs without additional variables, Mathematical Programming, 154(1):407-425, 2015) 提出的一个开放问题。此外，我们证明了渐近结论 $rc(\Delta_d) \in O(\frac{d}{\sqrt{\log(d)}})$，这表明当 $d\to \infty$ 时比值 $rc(\Delta_d)/rc_{\mathbb{Q}}(\Delta_d)$ 趋于 $0$。