图分解为 $(k,r)$-扇与单条边

设 $\phi(n,H)$ 为最大整数，使得对所有具有 $n$ 个顶点的图 $G$，边集 $E(G)$ 可被划分为至多 $\phi(n, H)$ 个部分，其中每个部分要么是一条单条边，要么构成一个与 $H$ 同构的图。Pikhurko 和 Sousa 猜想对于 $\chi(H)\geqs3$ 及所有充分大的 $n$ 有 $\phi(n,H)=\ex(n,H)$，其中 $\ex(n,H)$ 表示在 $n$ 个顶点上不含 $H$ 作为子图的图的最大边数。一个 $(k,r)$-扇是一个具有 $(r-1)k+1$ 个顶点的图，由 $k$ 个 $r$ 阶团组成，这些团恰好交于一个公共顶点。本文中，我们验证了 Pikhurko 和 Sousa 猜想对 $(k,r)$-扇成立。该结果也推广了 Liu 和 Sousa 的一个结果。