Seifert 三维流形群中方程与一阶理论的可判定性

在 [arXiv:1405.6274, 问题 5.2 和问题 5.3] 中,Aschenbrenner、Friedl 和 Wilton 提出:(1) 任意三维流形的基本群的方程问题是否可解?(2) 任意三维流形的基本群的一阶理论是否可判定?在本文中,我们通过证明整数上的希尔伯特第十问题可以编码到任意非虚拟阿贝尔的 Seifert 纤维化三维流形(其轨形具有非负欧拉示性数)的基本群方程中,来回答这两个问题。我们利用这一点证明了在这个无限族的三维流形群中,方程问题(以及由此的一阶理论)是不可判定的,然后将其应用于分类轨形具有非负欧拉示性数情况下具有可判定方程问题和可判定一阶理论的 Seifert 三维流形群。相比之下,我们证明了对于这类 Seifert 三维流形群,单个方程问题是可判定的。对于轨形具有负欧拉示性数的每个 Seifert 三维流形群 $G$,我们证明要么 $G$ 具有可判定的方程问题,要么 $G$ 有一个指数为 $2$ 的有限指数子群具有可判定的方程问题。这些负欧拉示性数的结果源于 Liang 关于双曲群中心扩张的工作。我们还讨论了为什么 Liang 的结果不足以处理所有负欧拉示性数的情况。我们展示了如何构造其他几个具有不可判定方程问题(以及由此的不可判定一阶理论)的三维流形群的无限族,包括非 Seifert 流形群的例子和非虚拟幂零群的例子。此外,我们观察到还有许多其他无限族的一阶理论是不可判定的,例如基于三维 Sol 几何建模的流形的基本群。