恒定磁场中质量型 Dirac 方程的衰减估计

我们研究 $\mathbb{R}_t\times\mathbb{R}^2_x$ 中恒定磁场下质量型 Dirac Hamiltonian 的衰减和 Strichartz 估计：\begin{equation*} \begin{cases} i\partial_tu(t,x)-\mathcal{D}_Au(t,x)=0, u(0,x)=f, \end{cases} \end{equation*} 其中 $\mathcal{D}_A=-i{\bf \sigma}\cdot (\nabla-i{\bf A}(x))+\sigma_3m$，$m\geq0$ 为质量，$\sigma_i$ 为 Dirac 矩阵，势 ${\bf A}(x)=\frac{B_0}{2}(-x_2,x_1),\,B_0>0$。特别地，我们证明了 $L^1(\mathbb{R}^2)\to L^\infty(\mathbb{R}^2)$ 型微局部化衰减估计，对于任意有限时间 $T>0$，存在常数 $C_T$ 使得 \begin{equation*} \|e^{it\mathcal{D}_{A}}\varphi(2^{-j}|\mathcal{D}_{A}|)f(x)\|_{[L^{\infty}(\mathbb{R}^2)]^2} \leq C_T 2^{2j}(1+2^{j}|t|)^{-\frac12} \|\varphi(2^{-j}|\mathcal{D}_{A}|)f\|_{[L^1{(\mathbb{R}^2)]^2}}, \quad |t|\leq T, \end{equation*} 并且我们进一步证明了具有此无界势的 Dirac 方程的局部时间 Strichartz 估计。