与de Rham复形相容的深度神经网络有限元

在 bounded 多面体区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$（$d\in\{2,3\}$）的一般正则单纯形剖分 $\mathcal{T}$ 上，我们构造了离散 de Rham 复形中所有最低阶有限元空间的精确神经网络（NN）仿真。这些空间包括分段常数函数空间、连续分段线性（CPwL）函数空间、经典的“Raviart-Thomas 元”和“Nédélec 边元”。除 CPwL 情形外，我们的网络架构同时采用 ReLU（修正线性单元）和 BiSU（二值阶跃单元）激活函数来捕捉不连续性。在重要的 CPwL 函数情形下，我们证明仅使用纯 ReLU 网络即可。我们的构造与 DNN 架构推广了先前的结果，因为对 $\Omega$ 的正则单纯形剖分 $\mathcal{T}$ 无需几何限制即可进行 DNN 仿真。此外，对于 CPwL 函数，我们的 DNN 构造在任意维度 $d\geq 2$ 均成立。我们的“FE-Nets”在非凸多面体 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 中电磁学边值问题的变分正确、保结构逼近中是必需的。因此，它们是例如将“物理信息神经网络”或“深度 Ritz 方法”等方法应用于通过深度学习技术的电磁场仿真的关键组成部分。我们指出了将我们的构造推广到高阶相容空间以及其他非相容离散化类的方法，特别是“Crouzeix-Raviart”元和混合高阶（HHO）方法。