任意维度上任意阶的深神经网络与有限元

在本研究中，我们确立了采用 ReLU 和 ReLU$^2$ 激活函数的深神经网络可以有效表示任意维度上各种单纯形网格上任意阶的 Lagrange 有限元函数。我们引入了两种新颖的全局表达 Lagrange 元基函数的公式，分别针对特定网格和任意网格量身定制。这些公式基于单元的几何分解，结合了高维单纯形网格、重心坐标函数和线性单元全局基函数的几个有洞察力且必要的性质。这种表示理论为此类深神经网络提供了自然的逼近结果。我们的发现首次展示了深神经网络如何系统地生成特定或任意单纯形网格上的一般连续分段多项式函数。