有限群的 Dade 群与维数函数

设 $G$ 为有限群，$k$ 为特征 $p>0$ 的代数闭域。我们定义 Dade $kG$-模的概念，作为 $p$-群的内置换模的推广。我们证明在适当的等价关系下，Dade $kG$-模的等价类集合在张量积下构成一个群，且如此得到的群同构于 Lassueur 定义的 Dade 群 $D(G)$。我们还考虑 $D(G)$ 中由相对合冲 $\Omega_X$ 生成的子群 $D^{\Omega}(G)$，其中 $X$ 为有限 $G$-集合。若 $C(G,p)$ 表示定义在 $G$ 的 $p$-子群上的超类函数群，则存在 $C(G,p)$ 的自然生成元 $\omega_X$，我们证明存在一个良定义的群同态 $\Psi_G:C(G,p)\to D^\Omega(G)$ 将 $\omega_X$ 映至 $\Omega_X$。本文的主要定理是验证由 $G$ 的 $k$-可定向实表示的维数函数构成的 $C(G,p)$ 子群位于 $\Psi_G$ 的核中。