循环单调非最优 $N$-边缘传输计划与 $N$-流的 Smirnov 型分解

在具有 $N\ge 2$ 个边缘的最优传输框架下，传输计划为最优的一个必要条件是它们是 $c$-循环单调的。对于 $N=2$，存在若干证明表明在非常一般的设定下 $c$-循环单调性也是最优性的充分条件，而对于 $N\ge 3$，这仅在 $c$ 满足强条件下才已知。这里我们给出一个反例，表明当 $N\ge 3$ 时 $c$-循环单调性一般不足以保证最优性。通过与 $N=2$ 情形的比较，展示了适用于 $N=2$ 情形的主要证明策略在 $N\ge 3$ 时可能如何失效。我们留下了 $c$ 满足何种最优条件才能使 $c$-循环单调性成为最优性充分条件这一开放问题。$N$-流的新概念似乎有助于理解该反例：我们的构造基于反例代价 $c$ 为有限的集合中不存在有限支撑 $N$-循环。为跟进这一想法，我们表述了 $N$-流的 Smirnov 型分解。