循环与负循环和秩码

和秩码在多射网络编码、分布式存储和空时码的构造中具有已知的应用。U. Martínez-Peñas 在其发表于《IEEE 信息论汇刊》2021 年第 67 卷第 8 期的论文中引入了循环-斜循环和秩码，并提出了关于循环-斜循环和秩码的 BCH 界。此后，许多具有维度和最小和秩距离下界的和秩 BCH 码被构造出来。G. N. Alfarano、F. J. Lobillo、A. Neri 和 A. Wachter-Zeh 于 2022 年提出并证明了关于循环-斜循环码的和秩 Hartmann-Tzeng 界与和秩 Roos 界。本文引入了循环、负循环和常循环和秩码，并提出了一种从汉明度量下 ${\bf F}_{q^m}$ 上的循环、负循环和常循环码直接构造矩阵尺寸为 $m \times m$ 的循环、负循环和常循环和秩码的方法。循环-斜循环和秩码是特殊的循环和秩码。此外，本文为一类循环和秩码发展了 BCH 界和 Hartmann-Tzeng 界。提出了具有已知维度和可控最小和秩距离的循环、负循环和常循环和秩码的具体构造。而且，构造了许多距离最优的二进制和秩码以及一个具有最小和秩距离四的距离最优二进制循环和秩码的无限族。这是文献中第一个具有最小和秩距离四的距离最优和秩码的无限族。