超曲面弗罗贝尼乌斯非经典轨迹上的曲线

设 $\mathcal{S} \subset \mathbb{P}^n$ 是定义在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的绝对不可约射影超曲面，并配备 $\mathbb{F}_q$-弗罗贝尼乌斯映射 $\Phi_q$。本文我们研究了不可约曲线 $\mathcal{X} \subset \mathcal{S}_{\Phi_q}$，其中 $\mathcal{S}_{\Phi_q}$ 是 $\mathcal{S}$ 的 $\mathbb{F}_q$-弗罗贝尼乌斯非经典轨迹。特别地，我们证明：对于任意曲线 $\mathcal{X} \subset \mathcal{S}_{\Phi_q}$，若 $\mathcal{S}$ 的高斯映射在 $\mathcal{X}$ 上的限制是不可分的，则 $\mathcal{X}$ 是 $\mathbb{F}_q$-弗罗贝尼乌斯非经典的。这提供了一种构造新的弗罗贝尼乌斯非经典曲线的方法，这类曲线倾向于拥有许多 $\mathbb{F}_q$-有理点。我们还证明，由分离变量定义的某类弗罗贝尼乌斯非经典超曲面 $\mathcal{S}$，其高斯映射限制在 $\mathcal{S}$ 的任意包含曲线上均是不可分的。最后，在与平面曲线情形平行的框架下，我们证明若 $\mathbb{F}_q$-弗罗贝尼乌斯非经典超曲面 $\mathcal{S}$ 的严格高斯映射 $\Gamma$ 由 $p$ 次幂给出，则 $\Gamma$ 是纯不可分的。