曲率-维数条件、刚性定理与黎曼流形上的熵差不等式

本文采用信息论方法研究黎曼流形上的曲率-维数条件、刚性定理和熵差不等式。我们证明了${\rm CD}(K, m)$-条件（其中$K\in \mathbb{R}$，$m\in [n, \infty]$）与沿着黎曼流形上Wasserstein空间上测地线的Shannon熵和R\'enyi熵差分不等式等价。{增强型熵差不等式的刚性模型为$K$-Einstein流形和$(K, m)$-Einstein流形}。此外，我们证明了在满足CD$(0, m)$-条件的黎曼流形上，沿着Wasserstein空间上测地线的W-熵（关联Shannon熵和R\'enyi熵）的单调性和刚性定理。与Lott、Sturm和Villani发展的合成几何框架中对CD$(K, m)$曲率-维数条件的表征相比，我们提供了更简单等价的表征，以及通过增强熵差等价和增强熵能差等价对Einstein流形和准Einstein流形的表征。这些都是文献中首次提出的。