偏序集的立方高度、立方宽度及相关极值问题

给定一个偏序集 $P$，一个由 $P$ 的元素索引的集合族 $\mathcal{S}=\{S_x:x\in P\}$ 称为 $P$ 的包含表示，当且仅当 $P$ 中 $x\leqslant y$ 等价于 $S_x\subseteq S_y$。偏序集的立方高度是指使得 $P$ 存在包含表示且每个集合的大小至多为 $h$ 的最小非负整数 $h$。相应地，偏序集的立方宽度是指存在 $P$ 的一个包含表示 $\mathcal{S}$，使得 $|\bigcup\mathcal{S}|=w$ 且 $\mathcal{S}$ 中每个集合的大小至多为 $P$ 的立方高度的最小非负整数 $w$。本文我们证明偏序集的立方宽度不超过其基集的大小，并刻画了该不等式取等号时的偏序集。我们的研究促使我们考察偏序集和包含表示的相关极值问题。因此，立方宽度的结果作为我们认为具有独立兴趣的更全面结果的推广而获得。