二体势下向正方形晶格的结晶

我们考虑二维零温的 $N$ 粒子系统，并赋予其形式为 $$\mathcal{E}[V](X):=\sum_{1\le i<j\le N}V(|X(i)-X(j)|)$$ 的能量，其中 $X(j)\in\mathbb R^2$ 表示粒子 $j$ 的位置，$V(r)\in\mathbb R$ 是相距 $r$ 的两个粒子的成对相互作用势能。我们证明，在单势阱势能 $V$ 的适当假设下，每个粒子的基态能量收敛到一个显式常数 $\bar{\mathcal E}_{\mathrm{sq}}[V]$，该常数与正方形晶格无限构型中每个粒子的能量相同。因此我们有 $$N{\bar{\mathcal E}_{\mathrm{sq}}[V]}\le \min_{X:\{1,\ldots,N\}\to\mathbb R^2}\mathcal E[V](X)\le N{\bar{\mathcal E}_{\mathrm{sq}}[V]}+O(N^{\frac 1 2}).$$ 此外，$\bar{\mathcal E}_{\mathrm{sq}}[V]$ 也被重新表示为四点能量的最小值。特别地，若势能 $V$ 满足：当 $r<1$ 时 $V(r)=+\infty$，当 $r\in [1,\sqrt{2}]$ 时 $V(r)=-1$，当 $r>\sqrt{2}$ 时 $V(r)=0$，则有 ${\bar{\mathcal E}_{\mathrm{sq}}[V]}=-4$。据我们所知，这是关于二体相互作用能量向正方形晶格结晶的首个证明。