抛物与双曲标度间的交叉、振荡模式及集群附近的共振

对一动力学方程的稳定性与分岔分析表明，二维 Vicsek 模型的集群分岔展现出抛物行为与双曲行为之间的相互作用。对于小于某一大值的箱尺寸，集群在噪声的临界值处从均匀无序态连续出现。由于质量守恒，描述集群态的振幅方程由一个关于密度扰动（粒子数密度减去均匀粒子密度，即粒子数除以箱面积）的标量方程和一个关于电流密度的矢量方程组成。这两个方程包含两个时间尺度。在较短尺度上，它们是一个双曲系统，其中时间与空间以相同方式标度。在较长的扩散时间尺度上，方程呈抛物型。分岔解依赖于角度，并且在空间中均匀，如同通常叉形分岔正规形中的情形。我们证明，围绕后一解的线性化在双曲时间尺度上由 Klein-Gordon 方程描述。于是存在围绕分岔解的、具有许多不可通约频率的持续振荡，它们产生临界噪声的偏移并与对齐规则的周期强迫发生共振。这些预测通过 Vicsek 模型的直接数值模拟得到证实。