克罗夫顿公式与不定号差

我们研究了由 A. Bernig 和作者分类的 $O(p,q)$-不变估值。我们的主要结果是，每一个这样的估值都由一个 $O(p,q)$-不变的克罗夫顿公式给出。这是通过首先为少数足够一般的号差和齐次度获得一些显式公式来实现的，特别是在 $O(p,p)$ 的 $(p-1)$ 齐次情形下，当 $p\not\equiv 3\mod 4$ 时，得到了中心仿射表面积的克罗夫顿公式。然后我们利用克罗夫顿公式的函子性质推广到一般情形。我们还为所有 $O(p,2)$-不变估值显式地确定了不变公式。证明依赖于对一些具有独立兴趣的积分的精确计算。这些积分与塞尔伯格积分和矩阵变量的贝塔函数有关，不同之处在于正定矩阵被替换为所有号差的矩阵。我们还分析了支撑在最小轨道上的显著不变克罗夫顿分布，并表明，有些令人惊讶的是，它有时定义了平凡估值，从而在余弦变换的核中产生了一个支撑特别小的分布。本文的核心是 Muro 对对称矩阵空间上 $|\det X|^s$ 分布族的描述，我们用它来构造一族 $O(p,q)$-不变的克罗夫顿分布。我们猜想不存在其他分布，随后对 $p$ 为偶数的 $O(p,2)$ 证明了这一点。克罗夫顿分布的函子性质是我们研究中的重要工具，由 T. Wannerer 和作者在附录中进行了研究。