多对多情形下带平局的临界松弛稳定匹配

我们研究带有偏好的多对多二部匹配问题，其中二部划分两侧均可能出现平局以及下限配额。输入为一个二部图 $G=(A \cup B, E)$，其中 $A \cup B$ 中每个顶点具有正的上限配额和非负下限配额，分别表示可从邻域分配给它的最大和最小顶点数。此外，每个顶点对其邻居指定一个偏好序，可能包含平局。一个\textit{临界}匹配是在最大可能程度上满足顶点下限配额的匹配。我们寻求计算一个既临界又相对于顶点偏好最优的匹配。稳定性作为在双侧偏好下被广泛接受的最优性概念，在存在平局时被推广为弱稳定性。然而，一个既临界又弱稳定的匹配可能不存在。受欢迎度是双侧偏好模型中另一个被充分研究的最优性概念；但在存在平局时（即使没有下限配额），受欢迎匹配可能不存在。因此，我们考虑松弛稳定性的概念，它由 Krishnaa、Limaye、Nasre 和 Nimbhorkar（JoCO 2023）引入并研究。我们证明一个既临界又松弛稳定的匹配总是存在，尽管计算最大规模的松弛稳定匹配是 NP 难的。我们的主要贡献是在多项式时间内对最大基数临界松弛稳定匹配实现了 $\frac{2}{3}$-近似。