对对称四边形第二 Neumann 特征函数的临界点
偏微分方程分析
2026-04-22 v1
摘要
本文主要关注第二 Neumann 特征函数 u 关于相关域 Q 对称轴或对称中心的对称性质，包括等腰梯形、平行四边形、风筝域等，并为这些域提供了关于 Hot Spots 猜想的肯定答案。我们的证明结合对称分解、特征值比较和连续性方法。精确地，我们在以下三个方面得到结果：(1) 当 Q 为等腰梯形时，若底角 α≤π/3，则 u 关于对称轴为反对称；若底角 α>π/3，则存在临界高度 ĥ，当高度 h<ĥ 时，u 关于对称轴为反对称；当高度 h>ĥ 时，u 关于对称轴为对称；当高度 h=ĥ 时，第二 Neumann 特征值的重数为 2。同时，我们完全描述了 u 在 Q 上非顶点临界点的位置。(2) 当 Q 为平行四边形时，u 关于 Q 中心为中心反对称且不存在非顶点临界点。特别地，当 Q 为菱形时，u 关于长对角线为对称，关于短对角线为反对称。(3) 当 Q 为风筝 P1P2P3P4 时，其中 P1 为原点，P2=(a,-h) 位于四象限内，P3=(1,0) 位于正 x 轴上，P4=(a,h) 关于 x 轴与 P2 对称且位于第一象限。若 a≥2，则 u 关于 x 轴为反对称；若 0<a<2，则存在两个常数 h0 和 h1(h0≤h1)，当 h<h0 时，u 关于 x 轴为对称；当 h>h1 时，u 关于 x 轴为反对称。同时，我们完全描述了 u 在 Q 上非顶点临界点的位置。
引用
@article{arxiv.2604.19003,
title = {Critical points of the second Neumann eigenfunctions on the quadrangles with symmetry},
author = {Haiyun Deng and Changfeng Gui and Xuyong Jiang and Xiaoping Yang and Ruofei Yao and Jun Zou},
journal= {arXiv preprint arXiv:2604.19003},
year = {2026}
}
备注
37 pages, 11 figures