用管道覆盖谢尔宾斯基地毯

我们证明 $[0,1]^d$ 中非平凡的 $\times N$-不变集，如谢尔宾斯基地毯和谢尔宾斯基海绵，是管零集，即它们可被直线管状邻域的并覆盖，且总体积任意小。这引入了一类维数严格介于 $d-1$ 与 $d$ 之间的新管零集。我们利用遍历理论方法将该集合分解为有限多个部分，每一部分在某个方向上的投影的 Hausdorff 维数小于 $1$。我们还讨论了其他自相似集的管道覆盖，并给出了各种应用。