关于 $\mathbb{R}^d$ 中集合的管占据性

若存在紧集 $K \subset \mathbb{R}^{d}$ 和常数 $C > 0$，使得 $0 < \mathcal{H}^{s}(K) < \infty$，且对所有宽度为 $w(T)$ 的管 $T \subset \mathbb{R}^{d}$ 满足 $$\mathcal{H}_{s}(K \cap T) \leq Cw(T)^{t}$$，则称 $(s,t) \in [0,d] \times [0,d]$ 为容许对。本文旨在证明所有满足 $s < 1$ 的 $(s,s)$ 对都是容许的。结合先前的结果，这解决了 A. Carbery 提出的一个问题。