管状区域上随机 Cantor 集的分布

我们证明了存在 $(d-1)$-Ahlfors 正则紧致集 $E \subset \mathbb{R}^{d}, d\geq 2$，使得对于任意 $t< d-1$，有 $$\sup_T \frac{\mathcal{H}^{d-1}(E\cap T)}{w(T)^t}<\infty$$ 其中上确界取遍所有宽度 $w(T) >0$ 的管 $T$。这解决了 T. Orponen 提出的一个问题。我们构造的集合是随机 Cantor 集，该方法结合了对这些随机 Cantor 集与仿射子空间交集的几何估计和概率估计。