用少于 $2^\om$ 个紧致零测集的平移覆盖局部紧致群
逻辑
2011-09-27 v1
摘要
Gruenhage 曾问是否可能用少于连续统多个紧致零测集的平移覆盖实数直线。在连续统假设下答案显然是否定的。Elekes 和 Stepr\=ans 给出了肯定答案，他们证明了如果 是 Erd\H os 和 Kakutani 首先考虑的那个著名的紧致零测集，那么 可以被 个 的平移覆盖。由于这个集合在更一般的群中没有类似物，因此这样的结果是否对不可数局部紧致 Polish 群成立被作为一个开放问题提出。在本文中，我们在阿贝尔情形下给出了肯定答案。更精确地说，我们证明如果 是一个非离散的局部紧致阿贝尔群，其中每个开子群的指数至多为 ，那么存在一个 Haar 测度为零的紧致集 ，使得 可以被 个 的平移覆盖。这个结果在某种意义下是最优的，它涵盖了不可数紧致阿贝尔群和非离散可分局部紧致阿贝尔群的情形。我们使用庞特里亚金对偶理论将问题简化为三种特殊情况：圆群、有限离散阿贝尔群的可数乘积以及 -进整数群，然后我们分别在这三个群上解决问题。此外，利用表示论，我们将非阿贝尔情形简化为李群和射有限群类，并且我们也解决了李群的问题。我们注意到 M.~Ab\'ert 最近对射有限群给出了肯定答案。
引用
@article{arxiv.1109.5308,
title = {Covering locally compact groups by less than $2^\om$ many translates of a compact nullset},
author = {Márton Elekes and Árpád Tóth},
journal= {arXiv preprint arXiv:1109.5308},
year = {2011}
}