预紧阿贝尔群商群的密度与权

著名的Banach-Mazur问题的拓扑群版本询问是否每个无限拓扑群都有非平凡可分离商群。已知紧群具有无限可分离可度量化商群。然而，作为紧群的稠密子群，预紧群可能不承认非平凡可度量化商群，因此也不承认非平凡可分离商群。本文中，我们研究最小基数$\mathfrak{m}$（相应为$\mathfrak{n}$），使得每个无限预紧阿贝尔群都承认密度特征$\leq \mathfrak{m}$（相应为权$\leq \mathfrak{n}$）的商群。证明了若$2^{<\mathfrak{c}}=\mathfrak{c}$，则$\mathfrak{m}=\mathfrak{c}$且$\mathfrak{n}=2^\mathfrak{c}$。更一般的问题是刻画预紧阿贝尔群$G$的所有无限真商群可能权之集合$QW(G)$。我们证明对于区间$[\omega, \mathfrak{c}]$的任意子集$E$，存在预紧阿贝尔群$G$使得$QW(G)=E$。若$\omega\in E$，则$G$可取为伪紧的。在附录中，我们给出一个例子表明非完全不连通的局部紧群可能不承认可分离商群。这回答了\cite{LMT}中提出的一个开放问题。