二维中离测试条件的反例

在证明一维双权局部 $T_b$ 定理 [SaShUT] 时,Sawyer、Shen 和 Uriarte-Tuero 使用了 Hyt"{o}nen [Hy] 的一个基本定理来处理生活在相邻区间上的测度的估计。Hyt"{o}nen 的定理指出,Hilbert 变换的离测试条件由 Muckenhoupt 的 $A_2$ 和 $A^*_2$ 条件控制。因此,在试图将双权 $T_b$ 定理推广到更高维时,自然地会问是否存在一个高维的 Hyt"{o}nen 定理类比,允许对涉及生活在相邻立方体上的测度的项进行类似的控制。在本文中我们表明,即便在一维中所用的能量条件 [SaShUT] 存在的情况下,情况也并非如此。因此,为了在更高维获得局部 $T_b$ 定理,将有必要寻找某些实质上的新论证来控制 notoriously difficult 的邻近形式。更确切地说,我们表明 Hyt"{o}nen 的双权分数次积分和 Riesz 变换不等式的离测试条件不受 Muckenhoupt 的 $A_2^\alpha$ 和 $A_2^{\alpha,*}$ 条件及能量条件的控制。