广义特征值问题中的特征值计数

我们研究由两个具有正本质谱和有限个孤立特征值的自伴算子定义的广义特征值问题中孤立和嵌入特征值的计数。该广义特征值问题决定了Hamilton动力系统中非线性波的谱稳定性。该理论基于不定内积空间中的Pontryagin不变子空间定理，但超越了Pontryagin、Krein、Grillakis等人早期论文的范围。我们的主要结果是：(i) 不稳定和潜在不稳定特征值的数量{\em 等于}自伴算子的负特征值数量；(ii) 广义特征值问题的孤立特征值总数{\em 由上界限制}为自伴算子孤立特征值的总数；(iii) 由不定内积定义的二次形式在广义特征值问题谱的绝对连续部分相关的子空间上严格正定。从一般理论出发，我们发展了在非线性Schr\"{o}dinger方程的孤子和涡旋以及Korteweg--De Vries方程的孤子中的应用。