无质量Nelson模型中的库仑散射 III. 基态波函数与非交换递推关系

设 $H_{P,\sigma}$ 为无质量Nelson模型在总动量 $P$ 和红外截断 $\sigma>0$ 处的单电子纤维哈密顿量。我们建立了相应的 $n$ 粒子基态波函数 $f^n_{P,\sigma}$ 作为 $P$ 和 $\sigma$ 的函数的详细正则性质。特别地，我们证明 $$|\partial_{P^j}f^{n}_{P,\sigma}(k_1,\ldots, k_n)|, \ \ |\partial_{P^j} \partial_{P^{j'}} f^{n}_{P,\sigma}(k_1,\ldots, k_n)| \leq \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{(c\lambda_0)^n}{\sigma^{\delta_{\lambda_0}}} \prod_{i=1}^n\frac{ \chi_{[\sigma,\kappa)}(k_i)}{|k_i|^{3/2}},$$ 其中 $c$ 是一个数值常数，$\lambda_0\mapsto \delta_{\lambda_0}$ 是最大容许耦合常数的一个正函数，满足 $\lim_{\lambda_0\to 0}\delta_{\lambda_0}=0$ 且 $\chi_{[\sigma,\kappa)}$ 是介于红外截断 $\sigma$ 与紫外截断 $\kappa$ 之间能量区域的（近似）特征函数。虽然一阶导数的分析相对直接，但二阶导数需要一种新策略。通过求解非交换递推关系，我们推导出了具有改进红外性质的 $f^n_{P,\sigma}$ 的新公式。在此表示中 $\partial_{P^{j'}}\partial_{P^{j}}f^n_{P,\sigma}$ 可利用本系列论文第二部分中的迭代解析微扰理论进行尖锐估计。上述界限对于Nelson模型中两个电子的散射理论至关重要，如本系列第一部分所述。