零拓扑熵字的代价与维数

设 $A^*$ 表示由有限非空集合 $A$ 生成的自由幺半群。本文引入了一种由 $A^*$ 上的半群结构定义的语言 $L\subseteq A^*$ 复杂度的新度量。对于每个 $L\subseteq A^*$，我们定义其代价 $c(L)$ 为所有实数 $\alpha$ 的下确界，其中存在一个语言 $S\subseteq A^*$ 满足 $p_S(n)=O(n^\alpha)$ 以及一个正整数 $k$ 使得 $L\subseteq S^k$。我们还定义了代价维数 $d_c(L)$ 为所有正整数 $k$ 的集合的下确界，使得对于某个满足 $p_S(n)=O(n^{c(L)})$ 的语言 $S$，有 $L\subseteq S^k$。我们主要关注由零拓扑熵的无限字 $x=x_0x_1x_2\cdots \in A^\omega$ 的因子集合给出的语言 $L$，在此情形下 $c(L)<+\infty$。我们建立了线性因子复杂度字的以下刻画：设 $x\in A^\omega$ 且 $L=$Fac$(x)$ 为 $x$ 的因子集合。则 $p_x(n)=\Theta(n)$ 当且仅当 $c(L)=0$ 且 $d_c(L)=2$。换言之，$p_x(n)=O(n)$ 当且仅当存在某个具有有界复杂度（即 $\limsup p_S(n)<+\infty$）的语言 $S\subseteq A^+$ 使得 Fac$(x)\subseteq S^2$。一般而言，语言 $L$ 的代价深刻反映了由 $A^*$ 上半群结构诱导的底层组合结构。例如，与上述对次线性复杂度字生成的语言的刻画相反，存在复杂度为 $p_L(n)=O(\log n)$（从而代价等于 $0$）且代价维数为 $+\infty$ 的非因子语言 $L$。本文研究了由零拓扑熵无限字定义的语言的代价与代价维数。