正则语言的有限视野一阶秩剖面

我们引入语言 $L \subseteq \Sigma^*$ 的有限视野一阶秩剖面：一个 $\mathrm{FO}[<]$ 语句在所有长度至多为 $n$ 的单词上正确分类 $L$ 的成员资格所需的最小量词秩。该不变量仅衡量量词深度；公式大小故意不加限制。首先，我们证明了一个独立于正则性的秩演算。通过平衡的一阶距离公式和精确单词定义，每种语言都满足 $\rho_L(n) \le \lceil \log_2 n \rceil + 4$。此外，$\sup_n \rho_L(n) < \infty$ 成立当且仅当 $L$ 是全局 $\mathrm{FO}[<]$ 可定义的，并且该上确界等于这种定义的最小量词秩。其次，对于正则语言，我们证明了一个尖锐的非周期性间隙：如果 $L$ 的句法幺半群是非周期的，则 $\rho_L(n) = O(1)$；否则 $\rho_L(n) = \log_2 n + O_L(1)$。下界从句法幺半群中提取一个非平凡的循环分量，并将其与一个关于固定单词长重复的 Ehrenfeucht-Fraisse 幂引理相结合。因此，对于完整的 $\mathrm{FO}[<]$ 量词秩，正则语言在有界秩和对数秩之间不存在中间的有限视野增长。