关于由平延生成的对称群的一个定理的修正

设$V$为在二元域$\mathbb F_2$上具有有限正维数并赋予辛形式$B$的向量空间。设${\rm SL}(V)$为$V$的特殊线性群。设$S$为$V$的子集。定义$Tv(S)$为${\rm SL}(V)$中由所有方向$\alpha\in S$的平延生成的子群。定义$G(S)$为以$S$为顶点集的图，其中$\alpha,\beta\in S$相连当且仅当$B(\alpha,\beta)=1$。一个著名定理指出，在$S$张成$V$的假设下，以下(i)、(ii)等价：(i) $Tv(S)$同构于一个对称群；(ii) $G(S)$是一个无爪块图。我们给出一个反例表明该定理不成立。我们给出该定理的如下修正：假设$S$是$V$的线性无关集，且$S$中无元素属于$V$的根。则上述(i)、(ii)等价。