软木扭转与三维流形的自同胚

本文研究两个有趣的光滑可缩流形，其边界具有非平凡的映射类群。第一个是非 Stein 可缩流形，其边界的任意自微分同胚均可向内延拓；这意味着该流形不能是一个松散软木（loose cork）。第二个例子是一个作为软木的 Stein 可缩流形，具有一个有趣的软木自同构 $f:\partial W \to \partial W$。由 \cite{am} 可知，任意同伦 $4$-球面均可通过一个微分同胚将两个可缩 Stein 流形沿其公共边界粘合而得到。我们取同伦球面 $\Sigma = -W\smile_{f}W$ 作为测试用例来探究其是否为 $S^4$？我们证明 $\Sigma$ 是沿一个 $2$-纽结 $S^{2}\hookrightarrow S^4$ 作 Gluck 扭转的 $S^4$；利用这一点我们得到了 $\Sigma$ 的无 $3$-柄柄体描述，进而证明 $\Sigma \approx S^4$。