李群 (-1,1) 上的卷积方程

区间 $j=[-1,1]$ 在群运算 $x+_\cJ y:=(x+y)(1+xy)^{-1},\qquad x,y\in\cJ$ 下成为一个阿贝尔群 $\cA(\cJ)$。这使得可在区间 $\cJ$ 上定义不变测度 $d_\cJ x=(1-x^2)^{-1}dx$ 和傅里叶变换 $\cF_\cJ$，并因此我们可以考虑 $\cJ$ 上的傅里叶卷积算子 $W^0_{\cJ,\cA}:=\cF_\cJ^{-1}\cA\cF_\cJ$。这类卷积包含著名的普朗特、特里科米和拉夫连季耶夫-比察泽方程，以及具有自然加权导数 $\fD_\cJ u(x)=-(1-x^2)u'(x)$，$t\in\cJ$ 的任意阶微分方程。方程在适应于群 $\cA(\cJ)$ 的贝塞尔势 $\bH^s_p(\cJ,d_\cJ x)$（$1\leqslant p\leqslant\infty$）和赫尔德-齐格蒙德 $\bZ^\nu(\cJ,(1-x^2)^\mu)$（$0<\mu,\nu<\infty$）空间尺度中求解。讨论了卷积算子的有界性（乘子问题）。卷积方程 $W^0_{\cJ,\cA}u=f$ 的符号 $\cA(\xi)$（$\xi\in\bR$）决定了可解性：方程唯一可解当且仅当符号 $\cA$ 是椭圆的。解借助逆符号显式写出。我们简要触及多维类比——阿贝尔群 $\cA(\cJ^n)$。