Martin 函数等高线的凸性及其应用

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{d}$ 中的无界区域。$\Omega$ 上在 $\Omega$ 边界上消失的正调和函数 $u$ 称为 Martin 函数。在本文中，我们证明当 $\Omega$ 为凸时，Martin 函数的超水平集也是凸的。作为推论，我们得到如果附加 $\Omega$ 是对称的，则任何 Martin 函数沿切片 $\Omega\cap (\{t\}\times\mathbb{R}^d)$ 的最大值在 $(t,0)$ 处取得。