$\ell^p$-松弛在图上收敛到给定边界值下的 $p$-调和函数的收敛速度

我们分析了如下动力学在具有 $n$ 个顶点的连通图 $(V,E)$ 上的演化。设 $V = I \bigcup B$，其中内部顶点集合 $I \ne \emptyset$ 与边界顶点集合 $B \neq \emptyset$ 不相交。给定 $p > 1$ 和初始意见轮廓 $f_0: V \to [0,1]$，在每个整数步骤 $t \ge 1$ 处选择一个均匀随机顶点 $v_t \in I$，并将该处的意见更新为 $f_{t}(v_t)$，该值通过在邻居 $w$ 处的差值 $p$ 次方求和来最小化，即 $\sum_{w \sim v_t} \lvert f_t(v_t)-f_{t-1}(w) \rvert^p$。当 $p=2$ 时，得到线性平均动力学，但对于所有 $p \ne 2$，动力学为非线性。众所周知，几乎必然情况下，$f_t$ 收敛到 $f_0|_B$ 的 $p$-调和延拓 $h$。表示达到 $\lVert f_t - h \rVert_{\infty} \le \epsilon$ 所需步数的随机变量记为 $\tau_p(\epsilon)$。最近，Amir、Nazarov 和 Peres 分析了无边界情况下的相同动力学。对于单个图而言，加入边界值可能显著延缓收敛速度；事实上，当 $p=2$ 时，近似时间由随机游走到达边界的到达时间控制，而到达时间可能远大于混合时间（后者控制 $B=\emptyset$ 时的收敛）。尽管如此，我们证明对于所有具有 $n$ 个顶点的图，均值近似时间 $\E[\tau_p(\epsilon)]$ 最多为 $n^{\beta_p}$（其中对 $p \in [2, \infty)$ 仅在 $\frac{n}{\epsilon}$ 的对数因子中出现，对 $p \in (1, 2)$ 则为 $\epsilon^{-1}$ 的多项式因子），其中 $\beta_p=\max\big(\frac{2p}{p-1},3\big)$。这与 \cite{noboundarycase} 中给出的 $\beta_p$ 定义相符，解答了该文第 6.2 题。指数 $\beta_p$ 在两种情况下均为最优。我们还证明了具有给定平均度的 $n$ 顶点图的尖锐下界，这在技术上更具挑战性。