Sobolev范数下随机相互作用粒子系统的依概率收敛

本文考虑带相互作用和布朗运动的粒子系统。我们证明当初始数据来自Chorin方法的采样，即初始顶点位于格点 $hi\in \mathbb{R}^d$ 上，质量为 $\rho_0(hi) h^d$，其中 $\rho_0$ 为某初始密度函数，则在 $L^\infty(L^2)\cap L^2(H^1)$ 的Sobolev范数下，相互作用粒子系统的正则化经验测度依概率收敛到具有初始密度 $\rho_0$ 的相应平均场偏微分方程。我们的结果对所有相互作用函数有界、Lipschitz连续并满足某些正则条件的系统成立。如果我们进一步正则化相互作用粒子系统，它对于一些最重要的相互作用函数不满足上述条件的系统也成立。对于具有排斥库仑相互作用的系统，该收敛在任意区间 $[0,t]$ 上全局成立。对于以吸引牛顿力为相互作用函数的系统，我们在相应Keller-Segel方程正则解的最大存在时间内有收敛。