移动窗口方法求解势函数下的薛定谔方程收敛性分析

我们提出了一种名为移动窗口方法的新型框架，用于求解 $\mathbb{R}^d$ 中具有外部势函数的线性薛定谔方程。该方法采用光滑截断函数，将整个空间上的 Cauchy 边界条件截断为一个随解动的比例 torus 上的有界窗口。这使得可以将已有的离散方法应用于该比例 torus，从而设计用于整个空间问题的算法。我们严格建立了用数值解在有界窗口上对整个空间解进行逼近的误差分析。此外，利用周期性情况下的解析工具，对这些整个空间算法的误差进行严格估计。将所提框架与比例 torus 上的经典一阶指数积分器结合后，证明该方案在初始数据属于 $H^\gamma(\mathbb{R}^d) \cap L^2(\mathbb{R}^d;|x|^{2\gamma} dx)$ 且 $\gamma \geq 2$ 时，在时间上达到一阶收敛，在空间上达到 $\gamma/2$ 阶收敛。当 $\gamma = 1$ 时，数值方案在额外的 CFL 条件下具有半阶收敛。实际中，我们可以在波到达窗口边界时动态调整窗口，从而实现超出初始窗口的继续计算。 presented extensive numerical examples to support the theoretical analysis and demonstrate the effectiveness of the proposed method.